Komplexe Zahlen dividieren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man komplexe Zahlen dividiert
Erforderliches Vorwissen
Komplex Konjugierte
Die komplex Konjugierte $\boldsymbol{\bar{z}}$ einer komplexen Zahl $z = x + y \cdot i$ ist definiert durch
$$ \bar{z} = x - y \cdot i $$
Die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z}$ einer komplexen Zahl $z$ erhält man durch das Vertauschen des Vorzeichens des Imaginärteils.
Graphisch entspricht das der Spiegelung von $z$ an der reellen Achse der komplexen Zahlenebene.
Mithilfe der komplex Konjugierten kann man den reziproken Wert $\boldsymbol{\frac{1}{z}}$ einer komplexen Zahl berechnen:
$$ \begin{align*} \frac{1}{z} &= \frac{1}{z} \cdot \frac{\bar{z}}{\bar{z}} \\[5px] &= \frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}} \\[5px] &= \frac{x - y \cdot i}{x^2 + y^2} \end{align*} $$
Außerdem können wir mithilfe der komplex Konjugierten den Betrag (d. h. die Länge des Vektors) einer komplexen Zahl berechnen:
$$ \begin{align*} |z|^2 &= z \cdot \bar{z} \\[5px] &= (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) \\[5px] &= x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 \\[5px] &= x^2 + y^2 \end{align*} $$
Betrag einer komplexen Zahl
$$ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} $$
Definition
Da wir jetzt wissen, wie man mit der komplex Konjugierten rechnet, können wir uns endlich anschauen, wie man komplexe Zahlen dividiert.
Um komplexe Zahlen zu dividieren, bedient man sich eines Tricks. Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den Zähler und den Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}} $$
Beispiele
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 4 + 3i$ und $z_2 = 2 + 2i$.
Berechne $\frac{z_1}{z_2}$.
$$ \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{4 + 3i}{2 + 2i} \\[5px] &= \frac{4 + 3i}{2 + 2i} \cdot \frac{2 - 2i}{2 - 2i} \\[5px] &= \frac{8 - 8i + 6i - 6i^2}{4 - 4i + 4i - 4i^2} && |\; i^2 = -1 \\[5px] &= \frac{14 - 2i}{8} \\[5px] &= 1{,}75 - 0{,}25i \end{align*} $$
Im nächsten Beispiel sparen wir uns, den Nenner auszumultiplizieren, da wir ja das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer komplex Konjugierten bereits kennen.
$$ \begin{align*} z \cdot \bar{z} &= (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) \\[5px] &= x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 \\[5px] &= x^2 + y^2 \end{align*} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 5 + 2i$ und $z_2 = 3 + 4i$.
Berechne $\frac{z_1}{z_2}$.
$$ \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{5 + 2i}{3 + 4i} \\[5px] &= \frac{5 + 2i}{3 + 4i} \cdot \frac{3 - 4i}{3 - 4i} \\[5px] &= \frac{15 - 20i + 6i -8i^2}{3^2 + 4^2} && |\; i^2 = -1 \\[5px] &= \frac{23 - 14i}{25} \\[5px] &= \frac{23}{25} - \frac{14}{25}i \end{align*} $$
