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Inverse Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die inverse Matrix mithilfe der Adjunkte berechnet.

Formel 

$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A) $$

Symbolverzeichnis

  • $|A|$ ist die Determinante der Matrix $A$.
  • $\text{Adj}(A)$ ist die Adjunkte der Matrix $A$.

Da die Adjunkte die Transponierte der Kofaktormatrix ist, können wir die obige Formel umschreiben zu

$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Cof}(A)^{T} $$

Anleitung 

Determinante berechnen

Kofaktoren berechnen

Kofaktormatrix aufstellen

Kofaktormatrix transponieren

Inverse Matrix berechnen

zu 1)

Gilt $|A| = 0$, ist die Matrix $A$ nicht invertierbar.

zu 2)

$$ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij} $$

Dabei ist $A_{ij}$ der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors $(-1)^{i+j}$ mit einer Unterdeterminante $D_{ij}$ zusammensetzt.

zu 3)

Die Elemente der Kofaktormatrix $\text{Cof}(A)$ sind die entsprechenden Kofaktoren.

zu 4)

Eine Matrix wird transponiert, indem man die Matrix an der Hauptdiagonale spiegelt.

Beispiel 

Beispiel 1 

Berechne die Inverse der Matrix

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} $$

mithilfe der Adjunkten.

Determinante berechnen

$$ A = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 4 \cdot 7 - 5 \cdot 3 = 13 $$

Da die Determinante ungleich Null ist, ist die Matrix $A$ invertierbar und wir können weiterrechnen.

Kofaktoren berechnen

$$ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{4} & \bcancel{3} \\ \bcancel{5} & {\color{red}7} \end{vmatrix} = {\color{blue}7} $$

$$ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{4} & \bcancel{3} \\ {\color{red}5} & \bcancel{7} \end{vmatrix} = {\color{blue}-5} $$

$$ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{4} & {\color{red}3} \\ \bcancel{5} & \bcancel{7} \end{vmatrix} = {\color{blue}-3} $$

$$ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} {\color{red}4} & \bcancel{3} \\ \bcancel{5} & \bcancel{7} \end{vmatrix} = {\color{blue}4} $$

Kofaktormatrix aufstellen

$$ \text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}7} & {\color{blue}-5} \\ {\color{blue}-3} & {\color{blue}4} \end{pmatrix} $$

Kofaktormatrix transponieren

$$ \text{Adj}(A) = \text{Cof}(A)^{T} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}7} & -3 \\ -5 & {\color{blue}4} \end{pmatrix} $$

Inverse Matrix berechnen

$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A) = \frac{1}{13} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}7} & -3 \\ -5 & {\color{blue}4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{13} & -\frac{3}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{4}{13} \end{pmatrix} $$

Anmerkung

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{7}{13} & -\frac{3}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{4}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$

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