Integration durch Substitution
In diesem Kapitel lernen wir die Integration durch Substitution (Substitutionsregel) kennen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Stammfunktion?
- Was ist ein unbestimmtes Integral?
- Integrationsregeln
Einordnung
$$ f(x) = g(h(x)) $$
abzuleiten, brauchen wir die Kettenregel:
Kettenregel
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Was beim Ableiten die Kettenregel ist, ist beim Integrieren die Substitutionsregel:
Substitutionsregel
$$ \int f(x) \, \textrm{d}x = \int \! f(\varphi(u)) \cdot \varphi'(u) \, \textrm{d}u $$
Dabei ist $\varphi$ das kleine Phi
des griechischen Alphabets.
Anleitung
Substitution vorbereiten
Den zu substituierenden Term bestimmen
Gleichung aus Schritt 1 nach $x$ auflösen
Gleichung aus Schritt 2 ableiten
Integrationsvariable ersetzen
Substitution
Integration
Rücksubstitution
zu 1.1)
Wir müssen uns überlegen, welchen Teil der Funktion wir substituieren wollen.
Ziel ist es, das Integral auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.
zu 1.2)
In diesem Schritt berechnen wir $\varphi(u)$.
Wenn wir uns die Substitutionsregel
$$ \int \! f({\color{red}x}) \, \textrm{d}x = \int \! f({\color{red}\varphi(u)}) \cdot \varphi'(u) \, \textrm{d}u $$
etwas genauer anschauen, können wir feststellen, dass gilt:
$$ {\fcolorbox{red}{}{$x = \varphi(u)$}} $$
Um $\varphi(u)$ zu berechnen, müssen wir die Gleichung aus dem 1. Schritt nach $x$ auflösen.
zu 1.3)
In diesem Schritt berechnen wir $\varphi'(u)$.
zu 1.4)
Wenn wir uns die Substitutionsregel
$$ \int \! f(x) \, {\color{red}\textrm{d}x} = \int \! f(\varphi(u)) \cdot {\color{red}\varphi'(u) \, \textrm{d}u} $$
etwas genauer anschauen, können wir feststellen, dass gilt:
$$ {\fcolorbox{red}{}{$\textrm{d}x = \varphi'(u) \, \textrm{d}u$}} $$
$\Rightarrow$ Die Integrationsvariable $x$ wird zu $u$!
zu 2)
Der Begriff Substitution
kommt vom aus dem Lateinischen und bedeutet ersetzen
.
Was im 2. Schritt genau ersetzt wird, schauen wir uns anhand einiger Beispiele an.
Beispiele
Berechne $\int \! \text{e}^{2x} \, \textrm{d}x$.
Substitution vorbereiten
Den zu substituierenden Term bestimmen
Wenn im Exponenten nur ein $x$ stehen würde, wäre die Sache einfach:
$$ \int \! \text{e}^{x} \, \textrm{d}x = e^x + C $$
Die Stammfunktion der e-Funktion ist die e-Funktion selbst.
Ganz so einfach ist das in unserem Beispiel aber nicht, denn der Exponent $2x$ stört.
Im 1. Schritt ersetzen wir den Exponenten $2x$ durch die Variable $u$:
$$ {\fcolorbox{orange}{}{$2x = u$}} $$
Gleichung aus Schritt 1 nach $x$ auflösen
$$ 2x = u \quad |\, :2 $$
$$ {\fcolorbox{red}{}{$x = \frac{1}{2}u$}} $$
$$ \Rightarrow \varphi(u) = \frac{1}{2}u $$
Gleichung aus Schritt 2 ableiten
$$ \varphi'(u) = \frac{1}{2} $$
Integrationsvariable ersetzen
$$ \textrm{d}x = \varphi'(u) \, \textrm{d}u $$
$$ {\fcolorbox{red}{}{$\textrm{d}x = \frac{1}{2} \, \textrm{d}u$}} $$
Substitution
$$ F(x) = \int \text{e}^{2x} \, \textrm{d}x $$
mit
$2x = u$$\textrm{d}x = \frac{1}{2} \, \textrm{d}u$
ergibt
$$ \begin{align*} F(u) &= \int \! \text{e}^{u} \cdot \frac{1}{2} \, \textrm{d}u \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \int \! \text{e}^{u} \, \textrm{d}u \end{align*} $$
Durch Einführung einer neuen Integrationsvariable konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Jetzt haben wir es mit einem einfacher handhabbarem Integral zu tun, das wir im nächsten Schritt integrieren.
Integration
$$ \begin{align*} F(u) &= \frac{1}{2} \cdot \int \! \text{e}^{u} \, \textrm{d}u \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{u} + C \end{align*} $$
Rücksubstitution
$$ {\fcolorbox{orange}{}{$u = 2x$}} $$
in
$$ F(u) = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{{\color{red}u}} + C $$
ergibt
$$ F(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{{\color{red}2x}} + C $$
Berechne $\int \! x \cdot \sqrt{x + 1}^3 \, \textrm{d}x$.
Substitution vorbereiten
Den zu substituierenden Term bestimmen
Die Wurzel $\sqrt{x + 1}$ stört uns beim Integrieren!
Im 1. Schritt ersetzen wir deshalb die Wurzel durch die Variable $u$:
$$ {\fcolorbox{orange}{}{$\sqrt{x + 1} = u$}} $$
Gleichung aus Schritt 1 nach $x$ auflösen
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} &= u &&| \text{ Quadrieren} \\[5px] x + 1 &= u^2 &&|\, -1 \end{align*} $$
$$ {\fcolorbox{red}{}{$x = u^2 - 1$}} $$
$$ \Rightarrow \varphi(u) = u^2 - 1 $$
Gleichung aus Schritt 2 ableiten
$$ \varphi'(u) = 2u $$
Integrationsvariable ersetzen
$$ \textrm{d}x = \varphi'(u) \, \textrm{d}u $$
$$ {\fcolorbox{red}{}{$\textrm{d}x = 2u \, \textrm{d}u$}} $$
Substitution
$$ F(x) = \int \! x \cdot \sqrt{x + 1}^3 \, \textrm{d}x $$
mit
$x = u^2 - 1$$\sqrt{x + 1} = u$$\textrm{d}x = 2u \, \textrm{d}u$
ergibt
$$ F(u) = \int \! (u^2 - 1) \cdot u^3 \cdot 2u \, \textrm{d}u $$
Zusammenrechnen
$$ \begin{align*} F(u) &= \int \! (u^2 - 1) \cdot 2u^4 \, \textrm{d}u \\[5px] &= \int \! 2u^6 - 2u^4 \, \textrm{d}u \\[5px] &= 2 \int \! (u^6 - u^4) \, \textrm{d}u \end{align*} $$
Durch Einführung einer neuen Integrationsvariable konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Jetzt haben wir es mit einem einfacher handhabbarem Integral zu tun, das wir im nächsten Schritt integrieren.
Integration
$$ \begin{align*} F(u) &= 2 \int \! (u^6 - u^4) \, \textrm{d}u \\[5px] &= 2 \cdot \left(\frac{1}{7}u^7 - \frac{1}{5}u^5\right) + C \\[5px] &= \frac{2}{7}u^7 - \frac{2}{5}u^5 + C \end{align*} $$
Rücksubstitution
$$ {\fcolorbox{orange}{}{$u = \sqrt{x + 1}$}} $$
in
$$ F(u) = \frac{2}{7}{\color{red}u}^7 - \frac{2}{5}{\color{red}u}^5 + C $$
ergibt
$$ F(x) = \frac{2}{7}{\color{red}\sqrt{x + 1}}^7 - \frac{2}{5}{\color{red}\sqrt{x + 1}}^5 + C $$
Auf eine weitere Vereinfachung des Terms wird an dieser Stelle verzichtet.
