Gleichschenkliges Trapez
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichschenkliges Trapez ist.
Für alle, die das Wort noch nie gehört haben: Ein gleichschenkliges Trapez
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften.
Definition
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit
– einem Paar paralleler Seiten und
– gleich langen Schenkeln.
Das gleichschenklige Trapez wird häufig auch symmetrisches Trapez
genannt.
Beispiel eines gleichschenkligen Trapezes
Neben einem Paar paralleler Seiten ($a \parallel c$) zeichnet sich ein gleichschenkliges Trapez durch gleich lange Schenkel ($b = d$) aus.
Eigenschaften
Geerbte Eigenschaften
Ecken
Seiten
Jedes Viereck hat vier Seiten.
In jedem Trapez
– verlaufen zwei Seiten parallel zueinander
– heißen die parallelen Seiten Grundseiten
– heißt die längere Grundseite oft Basis
– heißen die anderen (im Allgemeinen nicht
parallelen) Seiten Schenkel
Winkel
In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$
In jedem Trapez ergänzen sich die Winkel an jedem Schenkel zu $180^\circ$.$\alpha + \delta = 180^\circ$ und $\beta + \gamma = 180^\circ$
Diagonale
Höhe
Mittelparallele
Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißt Mittelparallele oder Mittellinie.
Die Mittelparallele verläuft parallel zu den Grundseiten.
Die Mittelparallele eines Trapezes ist gleich der halben Summe der beiden Grundseiten: $m = \frac{1}{2}(a+c)$.
Spezielle Eigenschaften
Seiten
Winkel
Im gleichschenkligen Trapez sind die Winkel an jeder Grundseite gleich.$\alpha = \beta$ und $\gamma = \delta$
Diagonale
Symmetrie
Ein gleichschenkliges Trapez ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten der Grundseiten.
Ein gleichschenkliges Trapez wird deshalb auch als symmetrisches Trapez bezeichnet.
Umkreis
Ein gleichschenkliges Trapez besitzt einen Umkreis ($\Rightarrow$ Sehnenviereck).
Umkreismittelpunkt:
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Gleichschenkliges Trapez berechnen
Umfang
$$ \begin{align*} U &= a + 2b + c &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= a + c + 2d &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \end{align*} $$
Flächeninhalt
$$ \begin{align*} A &= m \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= \frac{1}{2}(a+c) \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \\[5px] \end{align*} $$
Spezielle gleichschenklige Trapeze
= ungleichseitiges, gleichschenkliges Trapez mit vier rechten Winkeln
= gleichseitiges, gleichschenkliges Trapez mit vier rechten Winkeln
