Zinsrechnung
In diesem Kapitel schauen wir uns die Grundlagen der Zinsrechnung an.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
Einordung
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.
Zinsen spielen hauptsächlich beim Leihen und Verleihen von Geld eine Rolle.
| Begriff in der Zinsrechnung | Begriff in der Prozentrechnung |
|---|---|
Kapital $K$ | Grundwert $G$ |
Zinssatz $p\ \%$ | Prozentsatz $p\ \%$ |
Zinsbetrag $Z$ | Prozentwert $W$ |
$\Rightarrow Z = K \cdot p\ \%$ | $\Rightarrow W = G \cdot p\ \%$ |
Der Zinssatz bezieht sich – wenn nicht anders angegeben – auf ein Jahr.
Jahreszinsen berechnen
Mithilfe der folgenden Formel können wir die Zinsen auf ein Jahr genau berechnen.
Jahreszinsen
$$ Z = K \cdot p\ \% $$
Peter verleiht $100\ \textrm{€}$ zu einem Zinssatz von $5\ \%$.
Wie viel Zinsen erhält er nach einem Jahr?
$$ \begin{align*} Z &= K \cdot p\ \% \\[5px] &= 100\ \textrm{€} \cdot 5\ \% \\[5px] &= 100\ \textrm{€} \cdot \frac{5}{100} \\[5px] &= 5\ \textrm{€} \end{align*} $$
Der Zinssatz $p\ \%$ gibt an, dass man für je $100\ \textrm{€}$ gerade $p$ Euro pro Jahr Zinsen bekommt.
Monatszinsen berechnen
Mithilfe der folgenden Formel können wir die Zinsen auf einen Monat genau berechnen.
Monatszinsen
$$ Z = \underbrace{\vphantom{\frac{m}{12}}K \cdot p\ \%}_{\text{Jahreszinsen}} \cdot \underbrace{\frac{m}{12}}_{\text{Zeitfaktor}} $$
Sandra leiht sich $500\ \textrm{€}$ für $6$ Monate zu einem Zinssatz von $8\ \%$.
Wie viel Zinsen muss sie für diesen Zeitraum bezahlen?
$$ \begin{align*} Z &= K \cdot p\ \% \cdot \frac{m}{12} \\[5px] &= 500\ \textrm{€} \cdot 8\ \% \cdot \frac{6}{12} \\[5px] &= 500\ \textrm{€} \cdot \frac{8}{100} \cdot \frac{6}{12} \\[5px] &= 20\ \textrm{€} \end{align*} $$
Tageszinsen berechnen
Mithilfe der folgenden Formel können wir die Zinsen auf einen Tag genau berechnen.
Tageszinsen
$$ Z = \underbrace{\vphantom{\frac{t}{360}}K \cdot p\ \%}_{\text{Jahreszinsen}} \cdot \underbrace{\frac{t}{360}}_{\text{Zeitfaktor}} $$
David verleiht $300\ \textrm{€}$ für $45$ Tage zu einem Zinssatz von $10\ \%$.
Wie viel Zinsen bekommt er für diesen Zeitraum?
$$ \begin{align*} Z &= K \cdot p\ \% \cdot \frac{t}{360} \\[5px] &= 300\ \textrm{€} \cdot 10\ \% \cdot \frac{45}{360} \\[5px] &= 300\ \textrm{€} \cdot \frac{10}{100} \cdot \frac{45}{360} \\[5px] &= 3{,}75\ \textrm{€} \end{align*} $$
Die Formel, die die Zinsen auf den Tag genau berechnet, nennt man auch allgemeine Zinsformel.
Zinseszinsrechnung
Die obigen Formeln gelten für Zeiträume unter einem Jahr. Für Zeiträume, die größer als ein Jahr sind, gibt es die Zinseszinsrechnung.
