Exponentielles Wachstum
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was exponentielles Wachstum ist.
Erforderliches Vorwissen
Charakteristikum
Für exponentielles Wachstum ist eine konstante prozentuale Zunahme in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Exponentielles Wachstum wird durch Exponentialfunktionen beschrieben.
Beispiel
Auf unserem Sparbuch befinden sich derzeit 1000 €. Pro Jahr bekommen wir 5 % Zinsen auf das Kapital, d. h. unser Vermögen wächst konstant um 5 % pro Jahr.
Zu Beginn (im Zeitpunkt 0) haben wir 1000 €. Danach gilt:
- Jahr: 1050,00 € (= 1000,00 € + 1000,00 €
$\cdot$5 %) - Jahr: 1102,50 € (= 1050,00 € + 1050,00 €
$\cdot$5 %) - Jahr: 1157,625 € (= 1102,50 € + 1102,50 €
$\cdot$5 %)
…
Mathematisch betrachtet handelt es sich dabei um eine Funktion: Jedem Jahr wird ein Vermögen eindeutig zugeordnet.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c} \text{Jahr } x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Vermögen } y & 1000 & 1050 & 1102{,}5 & 1157{,}625 \\ \end{array} $$
Mithilfe der obigen Wertetabelle können wir einen Graphen zeichnen.
Darstellungsformen
Statt $f(x)$ schreibt man im Zusammenhang mit Wachstum häufig $B(t)$:
$B(t)$ ist eine Funktion, die den Bestand $B$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ ausdrückt.
Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, den Bestand $B$ zu berechnen.
Wiederholung: Wachstumsfaktor
Für den Wachstumsfaktor $q$ gilt: $q = 1 + \frac{p}{100}$.
Ein Anstieg um 2 % entspricht einem Anstieg auf 102 %.
$$ p\ \% = 2\ \% \quad \Rightarrow \quad q = 100\ \% + 2\ \% = 1 + \frac{2}{100} = 1{,}02 $$
Rekursive Darstellung
$$ B(t+1) = B(t) \cdot {\color{green}q} \quad \text{mit } {\color{green}q > 1} $$
Rekursiv bedeutet auf bekannte Werte zurückgehend
: Um zum Beispiel $B(3)$ zu berechnen, müssen wir $B(2)$ kennen. Um $B(2)$ zu berechnen, müssen wir $B(1)$ kennen und um $B(1)$ zu berechnen, müssen wir $B(0)$ kennen.
Die Stadt XYZ hat 250.000 Einwohner. Die Einwohnerzahl steigt um 2 % pro Jahr.
Wie viele Menschen leben in der Stadt in 3 Jahren?
Die dazugehörige rekursive Funktionsgleichung ist
$$ B(t+1) = B(t) \cdot {\color{green}1{,}02} $$
Außerdem gilt:
$$ B(0) = 250.000 $$
Daraus folgt:
$$ B(1) = B(0) \cdot 1{,}02 = 250.000 \cdot 1{,}02 = 255.000 $$
$$ B(2) = B(1) \cdot 1{,}02 = 255.000 \cdot 1{,}02 = 260.100 $$
$$ B(3) = B(2) \cdot 1{,}02 = 260.100 \cdot 1{,}02 = 265.302 $$
In 3 Jahren leben 265.302 Menschen in der Stadt XYZ.
Explizite Darstellung
$$ B(t) = B(0) \cdot {\color{green}q}^t \quad \text{mit } {\color{green}q > 1} $$
Mithilfe der expliziten Darstellung ist es möglich, jeden Funktionswert sofort auszurechnen.
Die Stadt XYZ hat 250.000 Einwohner. Die Einwohnerzahl steigt um 2 % pro Jahr.
Wie viele Menschen leben in der Stadt in 3 Jahren?
Die dazugehörige explizite Funktionsgleichung ist
$$ B(t) = 250.000 \cdot {\color{green}1{,}02}^t $$
Daraus folgt:
$$ B(3) = 250.000 \cdot 1{,}02^3 = 265.302 $$
In 3 Jahren leben 265.302 Menschen in der Stadt XYZ.
Änderungsrate
Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums.
Der Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ ist $\Delta t = t_2 - t_1$.
$\Delta$ (Delta) ist das mathematische Zeichen für eine Differenz.
Absolute Änderungsrate
Der absolute Zuwachs eines Bestands heißt absolute Änderungsrate $\Delta B(t)$.
$$ \Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{green}q}-1) \quad \text{mit } {\color{green}q > 1} $$
Herleitung
Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu $\Delta B(t) = B(t+1) - B(t)$.
$$ \begin{align*} \Delta B(t) &= B(t+1) - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t+1) = B(t) \cdot q \text{ (= Rekursive Darstellung)}} \\[5px] &= B(t) \cdot q - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t) \text{ ausklammern}} \\[5px] &= B(t) \cdot (q-1) \end{align*} $$
Relative Änderungsrate
Die relative Änderungsrate setzt die Änderung des Bestands mit dem Anfangsbestand in Beziehung.
$$ \frac{\Delta B(t)}{B(t)} = {\color{green}q}-1 \quad \text{mit } {\color{green}q > 1} $$
$\Rightarrow$ Die relative Änderungsrate $\frac{\Delta B(t)}{B(t)}$ ist konstant.
$\Rightarrow$ Die absolute Änderungsrate $\Delta B(t)$ ist proportional zum aktuellen Bestand $B(t)$.
Handelt es sich um exponentielles Wachstum?
In vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle gegeben und man soll überprüfen, ob sie einen exponentiellen Zusammenhang abbildet. Zur Überprüfung eignet sich folgende Eigenschaft:
$$ \frac{B(t+1)}{B(t)} = {\color{green}q} \quad \text{mit } {\color{green}q > 1} $$
Der Quotient zweier Folgeglieder der Folge ist stets gleich.
Handelt es sich bei
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r} t & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline B(t) & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \end{array} $$
um exponentielles Wachstum?
$$ \frac{B(1)}{B(0)} = \frac{2}{1} = 2 $$
$$ \frac{B(2)}{B(1)} = \frac{4}{2} = 2 $$
$$ \frac{B(3)}{B(2)} = \frac{8}{4} = 2 $$
Damit haben wir gezeigt, dass $B(t)$ exponentiell wächst.
Wenn es sich um exponentielles Wachstum handelt, wird häufig nach der Verdopplungszeit gefragt: Das ist die Zeitspanne, nach der sich ein Anfangsbestand $B(0)$ verdoppelt hat.
