Exponentialgleichungen
In diesem Kapitel lernen wir Exponentialgleichungen kennen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Potenzgesetze
- Logarithmusgesetze
Definition
Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable im Exponenten einer Potenz steht.
Exponentialgleichungen lösen
Im Folgenden schauen wir uns drei Verfahren zum Lösen von Exponentialgleichungen an. Welches Verfahren man einsetzt, richtet sich danach, wie die Gleichung aussieht.
Lösung durch Exponentenvergleich
$$ b^{f(x)} = b^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) = g(x) $$
Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben.
Löse $2^x = 2$.
$$ \begin{align*} 2^x &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Konstante als Potenz schreiben}} \\[5px] 2^x &= 2^1 &&{\color{orange}| \text{ Exponentenvergleich}} \\[5px] x &= 1 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{1\} \end{align*} $$
Löse $2^x = 1$.
$$ \begin{align*} 2^x &= 1 &&{\color{gray}| \text{ 1 als Potenz schreiben}} \\[5px] 2^x &= 2^0 &&{\color{orange}| \text{ Exponentenvergleich}} \\[5px] x &= 0 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{0\} \end{align*} $$
Löse $2^x = -1$.
$$ \begin{align*} 2^x &= -1 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{\} \end{align*} $$
Löse $2^x = 8$.
$$ \begin{align*} 2^x &= 8 &&{\color{gray}| \text{ Auf die gleiche Basis umformen}} \\[5px] 2^x &= 2^3 &&{\color{orange}| \text{ Exponentenvergleich}} \\[5px] x &= 3 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{3\} \end{align*} $$
Löse $4^x = 32$.
$$ \begin{align*} 4^x &= 32 &&{\color{gray}| \text{ Auf die gleiche Basis umformen}} \\[5px] \left(2^2\right)^x &= 2^5 \\[5px] 2^{2x} &= 2^5 &&{\color{orange}| \text{ Exponentenvergleich}} \\[5px] 2x &= 5 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x &= \frac{5}{2} && \Rightarrow \mathbb{L} = \{\tfrac{5}{2}\} \end{align*} $$
Lösung durch Logarithmieren
$$ b^{f(x)} = c \quad \Rightarrow \quad f(x) \cdot \log b = \log c \quad \Rightarrow \quad f(x) = \frac{\log c}{\log b} $$
Löse $2^x = 9$.
$$ \begin{align*} 2^x &= 9 &&{\color{orange}| \text{ Logarithmieren}} \\[5px] \log 2^x &= \log 9 &&{\color{gray}| \text{ Exponent vorziehen}} \\[5px] x \cdot \log 2 &= \log 9 &&{\color{gray}|\, :\log 2} \\[5px] x &= \frac{\log 9}{\log 2} &&{\color{gray}| \text{ Taschenrechner!}} \\[5px] x &\approx 3{,}1699 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{3{,}1699\} \end{align*} $$
$$ a^{f(x)} = b^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) \cdot \log a = g(x) \cdot \log b $$
Löse $2^{x+3} = 3^x$.
$$ \begin{align*} 2^{x+3} &= 3^x &&{\color{orange}| \text{ Logarithmieren}} \\[5px] \log 2^{x+3} &= \log 3^x &&{\color{gray}| \text{ Exponent vorziehen}} \\[5px] (x+3) \cdot \log 2 &= x \cdot \log 3 &&{\color{gray}| \text{ Klammer ausmultiplizieren}} \\[5px] x \cdot \log 2 + 3 \cdot \log 2 &= x \cdot \log 3 &&{\color{gray}|\, -(x \cdot \log 2)} \\[5px] 3 \cdot \log 2 &= x \cdot \log 3 - x \cdot \log 2 &&{\color{gray}|\, x \text{ ausklammern}} \\[5px] 3 \cdot \log 2 &= x \cdot (\log 3 - \log 2) &&{\color{gray}|\, : (\log 3 - \log 2)} \\[5px] x &= \frac{3 \cdot \log 2}{\log 3 - \log 2} &&{\color{gray}| \text{ Taschenrechner!}} \\[5px] x &\approx 5{,}1285 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{5{,}1285\} \end{align*} $$
Die Basis des Logarithmus, mit dem man die Gleichung logarithmiert, hat keinen Einfluss auf die Lösung. Aus Einfachheitsgründen verwendet man meist den Logarithmus zur Basis $10$, den sog. Zehnerlogarithmus (Dekadischer Logarithmus): $\log_{10}x = \log x = \lg x$. Vorteil des Zehnerlogarithmus ist, dass man ihn mit den meisten Taschenrechner berechnen kann.
Lösung durch Substitution
Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution zu lösen.
Unter Substitution
versteht man die Einsetzung einer Ersatzvariable.
Substitution
Gleichung lösen
Rücksubstitution
$$ 3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 = 0 $$
Substitution
$$ \left(3^{x}\right)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 = 0 $$
$$ {\fcolorbox{red}{}{$3^x = u$}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Substitution}} $$
$$ u^2 - 10u + 9 = 0 $$
Gleichung lösen
Die Lösungen der quadratischen Gleichung berechnen wir mithilfe der Mitternachtsformel:
$$ \begin{align*} u_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \\[5px] &= \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} \\[5px] &= \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} \\[5px] &= \frac{10 \pm 8}{2} \\[5px] \end{align*} $$
Die Lösungen $u_1$ und $u_2$ sind demnach:
$$ u_1 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$
$$ u_2 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$
Rücksubstitution
$$ {\fcolorbox{red}{}{$u = 3^x$}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Rücksubstitution}} $$
Das Einsetzen von $u_1 = 1$ in $u = 3^x$ führt zu
$$ 3^x = 1 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L}_1 = \{0\} $$
Das Einsetzen von $u_2 = 9$ in $u = 3^x$ führt zu
$$ 3^x = 9 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^2 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L}_2 = \{2\} $$
Die Lösungsmenge der Exponentialgleichung ist demnach
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \{0;2\} $$
Sonderfall: Exponentenvergleich oder Logarithmieren
Es gibt Fälle, in denen man sich aussuchen kann, wie man die Exponentialgleichung löst.
$$ 4^{3x+1} = 16^{-x} $$
Lösung durch Exponentenvergleich
$$ \begin{align*} 4^{3x+1} &= 16^{-x} &&{\color{gray}| \text{ Auf gleiche Basis umformen}} \\[5px] 2^{2(3x+1)} &= 2^{-4x} &&{\color{orange}| \text{ Exponentenvergleich}} \\[5px] 2(3x+1) &= -4x &&{\color{gray}| \text{ Klammer ausmultiplizieren}} \\[5px] 6x + 2 &= -4x &&{\color{gray}|\, -2} \\[5px] 6x &= -4x - 2 &&{\color{gray}|\, +4x} \\[5px] 6x + 4x &= - 2 &&{\color{gray}| \text{ Terme zusammenfassen}} \\[5px] 10x &= -2 &&{\color{gray}|\, :10} \\[5px] x &= \frac{-2}{10} && \Rightarrow \mathbb{L} = \{-0{,}2\} \end{align*} $$
Lösung durch Logarithmieren
$$ \begin{align*} 4^{3x+1} &= 16^{-x} &&{\color{orange}| \text{ Logarithmieren}} \\[5px] \log 4^{3x+1} &= \log 16^{-x} &&{\color{gray}| \text{ Exponenten vorziehen}} \\[5px] (3x +1) \cdot \log 4 &= -x \cdot \log 16 &&{\color{gray}| \text{ Auf gleichen Numerus umformen}} \\[5px] (3x +1) \cdot \log 2^2 &= -x \cdot \log 2^4 &&{\color{gray}| \text{ Exponenten vorziehen}} \\[5px] 2(3x +1) \cdot \log 2 &= -4x \cdot \log 2 &&{\color{gray}|\, :\log 2} \\[5px] 2(3x+1) &= -4x &&{\color{gray}| \text{ Klammer ausmultiplizieren}} \\[5px] 6x + 2 &= -4x &&{\color{gray}|\, -2} \\[5px] 6x &= -4x - 2 &&{\color{gray}|\, +4x} \\[5px] 6x + 4x &= - 2 &&{\color{gray}| \text{ Terme zusammenfassen}} \\[5px] 10x &= -2 &&{\color{gray}|\, :10} \\[5px] x &= \frac{-2}{10} && \Rightarrow \mathbb{L} = \{-0{,}2\} \end{align*} $$
