Erwartungswert

Vorbereitung

Die Zufallsvariable $X$ sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.

Es gibt sechs mögliche Realisationen:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $x_4 = 4$, $x_5 = 5$, $x_6 = 6$

Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:

$$ p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6} $$

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Augenzahl } x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X = x_i) & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array} $$

Berechnung

$$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \sum_i x_i \cdot P(X = x_i) \\[5px] &=1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \\[5px] &= 3{,}5 \end{align*} $$

Interpretation des Erwartungswerts

Wenn man beispielsweise 1000 Mal würfelt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5.

Das Beispiel zeigt, dass die Bezeichnung Erwartungswert irreführend sein kann: $\textrm{E}(X) = 3{,}5$ ist keineswegs der Wert, den man bei einem Wurf erwartet, denn 3,5 selbst kann nie als Augenzahl eintreten.

Vorbereitung

Die Zufallsvariable $X$ sei der Gewinn beim Roulette.

Wir setzen 1 € auf unsere Glückszahl. Falls wir gewinnen, erhalten wir 36 €. Unser Gewinn beträgt folglich 35 €, denn 1 € haben wir ja eingesetzt.

Zur Erinnerung: Beim Roulette kann man auf die Zahlen 0 bis 36 setzen.

Es gibt zwei Realisationen:
$x_1 = -1$ (falls wir verlieren)
$x_2 = 35$ (falls wir gewinnen)

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
$p_1 = \frac{36}{37}$ (in 36 von 37 Fällen verlieren wir)
$p_2 = \frac{1}{37}$ (in 1 von 37 Fällen gewinnen wir)

$$ \begin{array}{r|r|r} \text{Gewinn } x_i & -1 & 35 \\ \hline P(X = x_i) & \frac{36}{37} & \frac{1}{37} \end{array} $$

Berechnung

$$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \sum_i x_i \cdot P(X = x_i) \\[5px] &= -1 \cdot \frac{36}{37} + 35 \cdot \frac{1}{37} \\[5px] &= - \frac{1}{37} \approx -0{,}03 \end{align*} $$

Interpretation des Erwartungswerts

Wenn man beispielsweise 1000 Mal auf seine Glückszahl setzt, die Gewinne und Verluste zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von -3 Cent.

Bei einem fairen Spiel wäre der Erwartungswert gleich Null. Hier ist das Spiel unfair, da pro Runde im Schnitt ein Verlust von 3 Cent zu erwarten ist.

$$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{-1}^{1} \! x \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{1}^{\infty} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{3. Abschnitt}} \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! x \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! \frac{1}{2}x \, \textrm{d}x \\[5px] &= \left[\frac{1}{4}x^2\right]_{{\color{maroon}-1}}^{{\color{red}1}} \\[5px] &= \frac{1}{4}\cdot {\color{red}1}^2 - \frac{1}{4}\cdot ({\color{maroon}-1})^2 \\[5px] &= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \\[5px] &= 0 \end{align*} $$

Interpretation des Erwartungswerts

Wenn man bespielsweise 1000 Mal den Zufallsgenerator startet, die Zufallszahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 0.

Da der Zufallsgenerator seine Werte symmetrisch im negativen und positiven Bereich streut, erwarten wir bei einer großen Anzahl an Zufallsexperimenten im Mittel den Wert 0.

$$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{0}^{2} \! x \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{2}^{4} \! x \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x}_{\text{3. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{4}^{\infty} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{4. Abschnitt}} \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! x \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! x \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! \frac{1}{4}x^2 \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! x - \frac{1}{4}x^2 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \left[\frac{1}{12}x^3\right]_{{\color{maroon}0}}^{{\color{red}2}} + \left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^3\right]_{{\color{maroon}2}}^{{\color{red}4}} \\[5px] &= \left(\frac{1}{12} \cdot {\color{red}2}^3 - \frac{1}{12}\cdot {\color{maroon}0}^3\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{red}4}^2 - \frac{1}{12} \cdot {\color{red}4}^3 -\left(\frac{1}{2} \cdot {\color{maroon}2}^2 - \frac{1}{12} \cdot {\color{maroon}2}^3\right)\right) \\[5px] &= \left(\frac{2}{3} - 0\right) + \left(8 - \frac{16}{3} -\left(2 - \frac{2}{3}\right)\right) \\[5px] &= \frac{2}{3} - 0 + 8 - \frac{16}{3} -2 + \frac{2}{3} \\[5px] &= 2 \end{align*} $$