Diskrete Zufallsvariable
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine diskrete Zufallsvariable ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine Zufallsvariable $X$ heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.
$$ X := \text{„Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe“} $$
$\Rightarrow$ endliche Wertemenge
$$ X := \text{„Anzahl Würfe, bis zum ersten Mal 6 erscheint“} $$
$\Rightarrow$ unendliche Wertemenge, die jedoch abzählbar ist
Entstehung
Diskrete Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Zählvorgang.
Daraus folgt, dass diskrete Zufallsvariablen in der Regel nur nichtnegative ganzzahlige Werte annehmen.
Beispiele
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariable verteilen.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable lässt sich beschreiben durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder eine Verteilungsfunktion. Beide Funktionen enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.
Die Zufallsvariable $X$ sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.
Es gibt sechs mögliche Realisationen:$x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $x_4 = 4$, $x_5 = 5$, $x_6 = 6$
Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
$$ p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6} $$
1) Wahrscheinlichkeitsfunktion
$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & \text{für } x = 1 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 2 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 3 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 4 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 5 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 6 \\[5px] 0 & \text{sonst } \end{cases} \end{equation*} $$
Merke: $f(x) = P(X = x)$
2) Verteilungsfunktion
$$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 1 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } 1 \le x < 2 \\[5px] \frac{2}{6} & \text{für } 2 \le x < 3 \\[5px] \frac{3}{6} & \text{für } 3 \le x < 4 \\[5px] \frac{4}{6} & \text{für } 4 \le x < 5 \\[5px] \frac{5}{6} & \text{für } 5 \le x < 6 \\[5px] 1 & \text{für } x \ge 6 \end{cases} \end{equation*}$$
Merke: $F(x) = P(X \le x)$
Sowohl die Wahrscheinlichkeitsfunktion als auch die Verteilungsfunktion beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable vollständig. Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig: Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u. a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
Überblick
| Entstehung | durch Zählvorgang |
| Beispiel | Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe |
| Wahrscheinlichkeitsverteilung | |
| - Wahrscheinlichkeitsfunktion | |
| - Verteilungsfunktion | |
| Maßzahlen | |
| - Erwartungswert | $$\mu_{X} = \textrm{E}(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$$ |
| - Varianz | $$\sigma^2_{X} = \textrm{Var(X)} = \sum_i (x_i - \mu_{X})^2 \cdot P(X = x_i)$$ |
| - Standardabweichung | $$\sigma_{X} = \sqrt{\textrm{Var(x)}}$$ |
