Dichtefunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Dichte) ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Einschränkung

Die Dichtefunktion ist nur für stetige Zufallsvariablen definiert.

Einsatzzweck

Die Dichtefunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Definition

Die Dichtefunktion hat vor allem die Aufgabe, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu vermitteln: Wie der Name bereits andeutet, zeigt diese Funktion, in welchen Teilen sich die Werte der Zufallsvariable am dichtesten scharen.

Die Dichtefunktion zeigt, dass sich in der Umgebung von $0$ die Werte am dichtesten scharen.

Abb. 1

Die Dichtefunktion zeigt, dass sich in der Umgebung von $1{,}5$ die Werte am dichtesten scharen.

Abb. 2

Eigenschaften der Dichtefunktion

$$ f(x) \geq 0 \text{ für alle } x \in \mathbb{R} $$

In Worten: Die Dichtefunktion kann nur positive Werte annehmen.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, \textrm{d}x = 1 $$

In Worten: Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt $1$ .

Anmerkung

Bei Dichtefunktionen können durchaus Werte größer als $1$ auftreten.

In der Abbildung sehen wir eine Dichtefunktion, die Funktionswerte größer als $1$ annimmt.

Abb. 3

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet man bei stetigen Zufallsvariablen immer die entsprechende Verteilungsfunktion. Sie ergibt sich aus der Integration der Dichtefunktion:

$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Beispiel 1

$$ P(X \le 3) = \int_{-\infty}^{3} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Abb. 4

Beispiel 2

$$ P(2 < X \le 3) = \int_{2}^{3} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Abb. 5

Beispiel 3

$$ P(X > 4) = \int_{4}^{\infty} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

Abb. 6

Aus

$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u $$

lässt sich eine wichtige Eigenschaft ableiten:

$$ P(X = x) = 0 $$

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable $X$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt, ist stets Null.

Grund dafür ist, dass die Fläche über einem Punkt $x$ gleich Null ist:

$$ P(X = x) = \int_{x}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u = F(x) - F(x) = 0 $$

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Bei diskreten Zufallsvariablen haben wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion kennengelernt, welche jedem $x$ der Zufallsvariable $X$ seine Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ zuordnet.

Für stetige Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht definiert, da die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ eintritt, hier stets $P(X = x) = 0$ ist.

Wir können festhalten:
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt $f(x) = P(X = x)$ .
Für die Dichtefunktion gilt $f(x) \neq P(X = x)$ .

Daraus folgt:

Aus der Dichtefunktion selbst lassen sich keine Wahrscheinlichkeiten ablesen!

Im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass die Wahrscheinlichkeit der Fläche unter der Dichtefunktion entspricht, welche man mithilfe der Verteilungsfunktion berechnet.

Beispiele

Im Folgenden schauen wir uns die Dichtefunktionen einiger bekannter Verteilungen an.

Normalverteilung

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $$

Im Beispiel gilt:
$\mu = 3$
$\sigma = 1$

Abb. 7 / Dichtefunktion einer Normalverteilung

Stetige Gleichverteilung

$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < a \\[5px] \frac{1}{b-a} & \text{für } a \le x \le b \\[5px] 0 & \text{für } x > b \end{cases} \end{equation*} $$

Im Beispiel gilt:
$a = 2$
$b = 4$

Abb. 8 / Dichtefunktion einer stetigen Gleichverteilung

Exponentialverteilung

$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\[5px] \dfrac{1}{\mu}\textrm{e}^{-\dfrac{x}{\mu}} & \text{für } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Im Beispiel gilt:
$\mu = 3$

Abb. 9 / Dichtefunktion einer Exponentialverteilung