Diagonale: Quadrat
In diesem Kapitel lernen wir, die Diagonale eines Quadrats zu berechnen.
Ein Quadrat
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Diagonale
ist der Fachbegriff für die Verbindungsstrecke zwischen nicht benachbarten Ecken (Gegenecken).
Erforderliches Vorwissen
Herleitung der Formel
In einem allgemeinen Viereck sind die beiden Diagonalen verschieden lang und werden meist mit $e$ und $f$ bezeichnet.
In einem Quadrat sind die beiden Diagonalen gleich lang. Sie werden in der Regel einfach mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.
Im Folgenden schauen wir uns an, wie wir $d$ berechnen können, wenn $a$ gegeben ist.
Die Diagonale $d$ zerlegt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke: $\triangle ABC$ und $\triangle ACD$.
$d$ ist die Hypotenuse beider Dreiecke, also die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
- Satz des Pythagoras:
$d^2 = a^2 + a^2$. - Gleichung vereinfachen:
$d^2 = 2a^2$. - Teilweises Wurzelziehen:
$d = a\sqrt{2}$.
Formel
$$ d = a\sqrt{2} $$
$a$ und $d$ sind Längen in derselben Maßeinheit.
| Längeneinheiten |
|---|
$\textrm{mm}$ Millimeter |
$\textrm{cm}$ Zentimeter |
$\textrm{dm}$ Dezimeter |
$\textrm{m}$ Meter |
$\textrm{km}$ Kilometer |
Beispiele
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge $a = 2\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ d = a\sqrt{2} $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 2\ \textrm{cm} \cdot \sqrt{2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 2\sqrt{2}\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 2{,}83\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge $a = 4\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ d = a\sqrt{2} $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 4\ \textrm{m} \cdot \sqrt{2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 4\sqrt{2}\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 5{,}66\ \textrm{m} \end{align*} $$
Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge $a = 6\ \textrm{km}$?
Formel aufschreiben
$$ d = a\sqrt{2} $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 6\ \textrm{km} \cdot \sqrt{2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 6\sqrt{2}\ \textrm{km} \\[5px] &\approx 8{,}49\ \textrm{km} \end{align*} $$
Schon gewusst? Die Diagonale eines Rechtecks berechnet sich auf ähnliche Art und Weise.
