Dezimalzahl in Bruch
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Thema Dezimalzahl in Bruch umwandeln
.
Endliche Dezimalzahlen umwandeln
Endliche Dezimalzahlen lassen sich sehr einfach in Brüche umwandeln.
Die Anzahl der Nachkommastellen der Dezimalzahl entspricht der Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs.
$$ 278{,}\underbrace{9}_{\text{1 Stelle}} = \frac{2789}{1\underbrace{0}_{\text{1 Null}}} $$
$$ 27{,}\underbrace{89}_{\text{2 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{00}_{\text{2 Nullen}}} $$
$$ 2{,}\underbrace{789}_{\text{3 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}} $$
$$ 0{,}\underbrace{2789}_{\text{4 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{0000}_{\text{4 Nullen}}} $$
$$ 0{,}\underbrace{02789}_{\text{5 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{00000}_{\text{5 Nullen}}} $$
$$ 0{,}\underbrace{002789}_{\text{6 Stellen}} = \frac{2789}{1\underbrace{000000}_{\text{6 Nullen}}} $$
Wenn das Thema neu für dich ist, lohnt es sich systematisch vorzugehen:
Leeren Bruch mit einer $\boldsymbol{1}$ im Nenner aufschreiben
So viele Nullen hinter die $\boldsymbol{1}$ schreiben wie es Nachkommastellen gibt
Als Zähler die Dezimalzahl ohne Komma einsetzen
Wandle die Dezimalzahl $2{,}089$ in einen Bruch um.
Leeren Bruch mit einer $\boldsymbol{1}$ im Nenner aufschreiben
$$ 2{,}089 \quad = \quad \frac{}{1\phantom{000}} $$
So viele Nullen hinter die $\boldsymbol{1}$ schreiben wie es Nachkommastellen gibt
$$ 2{,}\underbrace{089}_{\text{3 Stellen}} \quad = \quad \frac{}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}} $$
Als Zähler die Dezimalzahl ohne Komma einsetzen
$$ 2{,}089 \quad = \quad \frac{2089}{1000} $$
Wandle die Dezimalzahl $0{,}02712$ in einen Bruch um.
Leeren Bruch mit einer $\boldsymbol{1}$ im Nenner aufschreiben
$$ 0{,}02712 \quad = \quad \frac{}{1\phantom{00000}} $$
So viele Nullen hinter die $\boldsymbol{1}$ schreiben wie es Nachkommastellen gibt
$$ 0{,}\underbrace{02712}_{\text{5 Stellen}} \quad = \quad \frac{}{1\underbrace{00000}_{\text{5 Nullen}}} $$
Als Zähler die Dezimalzahl ohne Komma einsetzen
$$ 0{,}02712 \quad = \quad \frac{2712}{100000} $$
Nach dem Umwandeln einer Dezimalzahl in einen Bruch kann der Bruch meist noch gekürzt werden (siehe Brüche kürzen). In den obigen Beispielen wurde allerdings darauf verzichtet.
Periodische Dezimalzahlen umwandeln
Reinperiodischen Dezimalzahlen
Ganze Zahl abspalten
Periode in Bruch umwandeln
Leeren Bruch aufschreiben
Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat
Zähler: Die Periode selbst
Ganze Zahl in Bruch umwandeln
Wandle die Dezimalzahl $0{,}\overline{17}$ in einen Bruch um.
Ganze Zahl abspalten
Vor dem Komma steht eine Null, weshalb man sich diesen Schritt hier sparen kann.
Periode in Bruch umwandeln
Leeren Bruch aufschreiben
$$ 0{,}\overline{17} \quad = \quad \frac{\phantom{17}}{\phantom{99}} $$
Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat
$$ 0{,}\underbrace{\overline{17}}_{\text{2 Stellen}} \quad = \quad \frac{\phantom{17}}{\underbrace{99}_{\text{2 Neuner}}} $$
Zähler: Die Periode selbst
$$ 0{,}\overline{{\color{green}17}} \quad = \quad \frac{{\color{green}17}}{99} $$
Ganze Zahl in Bruch umwandeln
Vor dem Komma steht eine Null, weshalb man sich diesen Schritt hier sparen kann.
Wandle die Dezimalzahl $3{,}\overline{29}$ in einen Bruch um.
Ganze Zahl abspalten
$$ 3{,}\overline{29} = 3 + 0{,}\overline{29} $$
Periode in Bruch umwandeln
Leeren Bruch aufschreiben
$$ 3 + 0{,}\overline{29} \quad = \quad 3 + \frac{\phantom{17}}{\phantom{99}} $$
Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat
$$ 3 + 0{,}\underbrace{\overline{29}}_{\text{2 Stellen}} \quad = \quad 3 + \frac{\phantom{17}}{\underbrace{99}_{\text{2 Neuner}}} $$
Zähler: Die Periode selbst
$$ 3 + 0{,}\overline{{\color{green}29}} \quad = \quad 3 + \frac{{\color{green}29}}{99} $$
Ganze Zahl in Bruch umwandeln
$$ 3 + \frac{29}{99} = 3 \cdot {\color{red}\frac{99}{99}} + \frac{29}{{\color{red}99}} = \frac{3 \cdot 99 + 29}{99} = \frac{326}{99} $$
Gemischtperiodischen Dezimalzahlen
Gemischtperiodische in reinperiodische Dezimalzahl umwandeln
Reinperiodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Ganze Zahl abspalten
Leeren Bruch aufschreiben
Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat
Zähler: Die Periode selbst
Ganze Zahl in Bruch umwandeln
Durch die Zehnerpotenz aus Schritt 1 dividieren
zu 1)
Will man eine gemischtperiodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, multipliziert man die Zahl zuerst mit einer Potenz von 10 (also mit 10, 100, 1000…), so dass eine reinperiodische Dezimalzahl entsteht.
Dabei gilt: Die Anzahl der nicht-periodischen Nachkommastellen, entspricht der Anzahl der Nullen.
zu 2.1) - 2.5)
Die Schritte kennst du bereits aus dem Abschnitt zu den reinperiodischen Dezimalzahlen.
zu 3)
Im 1. Schritt haben wir unsere Zahl mit einer Potenz von 10 multipliziert. Dadurch wurde selbstverständlich der Wert der Zahl verändert. Aus diesem Grund müssen wir im 3. Schritt den 1. Schritt rückgängig machen.
Wandle die Dezimalzahl $0{,}1\overline{7}$ in einen Bruch um.
Gemischtperiodische in reinperiodische Dezimalzahl umwandeln
$$ 0,{\color{maroon}1}\overline{7} \cdot 1{\color{maroon}0} = 1{,}\overline{7} $$
Reinperiodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Ganze Zahl abspalten
$$ 1{,}\overline{7} = 1 + 0{,}\overline{7} $$
Leeren Bruch aufschreiben
$$ 1 + 0{,}\overline{7} \quad = \quad 1 + \frac{\phantom{7}}{\phantom{9}} $$
Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat
$$ 1 + 0{,}\underbrace{\overline{7}}_{\text{1 Stelle}} \quad = \quad 1 + \frac{\phantom{7}}{\underbrace{9}_{\text{1 Neun}}} $$
Zähler: Die Periode selbst
$$ 1 + 0{,}\overline{{\color{green}7}} \quad = \quad 1 + \frac{{\color{green}7}}{9} $$
Ganze Zahl in Bruch umwandeln
$$ 1 + \frac{7}{9} = 1 \cdot {\color{red}\frac{9}{9}} + \frac{7}{{\color{red}9}} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9} $$
Durch die Zehnerpotenz aus Schritt 1 dividieren
$$ \frac{16}{9}:{\color{maroon}10} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{10} = \frac{16}{90} $$
$$ \Rightarrow 0{,}1\overline{7} = \frac{16}{90} $$
Wandle die Dezimalzahl $1{,}05\overline{91}$ in einen Bruch um.
Gemischtperiodische in reinperiodische Dezimalzahl umwandeln
$$ 1,{\color{maroon}05}\overline{91} \cdot 1{\color{maroon}00} = 105{,}\overline{91} $$
Reinperiodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Ganze Zahl abspalten
$$ 105{,}\overline{91} = 105 + 0{,}\overline{91} $$
Leeren Bruch aufschreiben
$$ 105 + 0{,}\overline{91} \quad = \quad 105 + \frac{\phantom{91}}{\phantom{99}} $$
Nenner: So viele 9er wie die Periode Stellen hat
$$ 105 + 0{,}\underbrace{\overline{91}}_{\text{2 Stellen}} \quad = \quad 105 + \frac{\phantom{91}}{\underbrace{99}_{\text{2 Neuner}}} $$
Zähler: Die Periode selbst
$$ 105 + 0{,}\overline{{\color{green}91}} \quad = \quad 105 + \frac{{\color{green}91}}{99} $$
Ganze Zahl in Bruch umwandeln
$$ 105 + \frac{91}{99} = 105 \cdot {\color{red}\frac{99}{99}} + \frac{91}{{\color{red}99}} = \frac{105 \cdot 99 + 91}{99} = \frac{10486}{99} $$
Durch die Zehnerpotenz aus Schritt 1 dividieren
$$ \frac{10486}{99}:{\color{maroon}100} = \frac{10486}{99} \cdot \frac{1}{100} = \frac{10486}{9900} $$
$$ \Rightarrow 1{,}05\overline{91} = \frac{10486}{9900} $$
Nach dem Umwandeln einer Dezimalzahl in einen Bruch kann der Bruch meist noch gekürzt werden (siehe Brüche kürzen). In den obigen Beispielen wurde allerdings darauf verzichtet.
Umwandeln durch Auswendiglernen
Im Folgenden findest du zwei Tabellen mit Dezimalzahlen und zugehörigen Brüchen, die man auswendig wissen sollte. Auf diese Weise kann man Aufgaben schneller lösen!
Endliche Dezimalzahlen
| Dezimalzahl | $0{,}75$ | $0{,}5$ | $0{,}25$ | $0{,}2$ | $0{,}125$ | $0{,}1$ |
| Bruch | $\frac{3}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{10}$ |
Periodische Dezimalzahlen
| Dezimalzahl | $0{,}\overline{6}$ | $0{,}\overline{4}$ | $0{,}\overline{3}$ | $0{,}\overline{2}$ | $0{,}1\overline{6}$ | $0{,}\overline{1}$ |
| Bruch | $\frac{2}{3}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{9}$ |
In den folgenden Beispielen versuchen wir die gegebenen Dezimalzahlen so zu zerlegen, dass wir bekannte – also auswendiggelernte – Dezimalzahlen erhalten, die wir anschließend ohne weiteres Rechnen in Brüche umwandeln können.
$$ 2{,}\overline{6} = 2 + {\color{red}0{,}\overline{6}} = 2 + {\color{red}\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} $$
$$ 0{,}\overline{8} = 8 \cdot {\color{red}0{,}\overline{1}} = 8 \cdot {\color{red}\frac{1}{9}} = \frac{8}{9} $$
$$ 0{,}2\overline{7}= {\color{red}0{,}1\overline{6}} + {\color{red}0{,}\overline{1}} = {\color{red}\frac{1}{6}} + {\color{red}\frac{1}{9}} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18} $$
An Stelle von $0{,}\overline{1}$ könnte man auch $0{,}1\overline{1}$ schreiben.
Dann sieht man besser, dass gilt: $0{,}1\overline{6} + 0{,}1\overline{1} = 0{,}2\overline{7}$.
