Bruchterme addieren
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Addieren von Bruchtermen.
Erforderliches Vorwissen
Gleichnamige Bruchterme addieren
$$ \frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}} $$
In Worten: Zwei Bruchterme mit gleichem Nenner werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.
Der Nenner verändert sich bei der Addition nicht. Er wird einfach beibehalten.
$$ \frac{3}{{\color{green}b}} + \frac{2}{{\color{green}b}} = \frac{3+2}{{\color{green}b}} = \frac{5}{{\color{green}b}} $$
$$ \frac{5c}{{\color{green}ab}} + \frac{4c}{{\color{green}ab}} = \frac{5c+4c}{{\color{green}ab}} = \frac{9c}{{\color{green}ab}} $$
$$ \frac{7 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} + \frac{1 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} = \frac{7 \cdot (a+1)+1 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} = \frac{8 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} $$
Nach dem Addieren lässt sich der Bruchterm oft noch vereinfachen (siehe Bruchterme kürzen).
Ungleichnamige Bruchterme addieren
Brüche faktorisieren
Brüche kürzen
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
Erweiterungsfaktoren berechnen
Brüche auf Hauptnenner erweitern
Brüche addieren
Bruch kürzen
zu 1)
Hauptkapitel: Faktorisieren
- Natürliche Zahlen zerlegen wir mittels Primfaktorzerlegung in Faktoren.
- Summen und Differenzen lassen sich häufig durch Ausklammern oder das Anwenden der binomischen Formeln faktorisieren.
zu 2)
Um die nachfolgenden Rechenschritte zu vereinfachen, kürzen wir die einzelnen Brüche, indem wir die gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner streichen.
zu 3)
Hauptkapitel: Brüche gleichnamig machen
Da man nur gleichnamige Brüche addieren kann, müssen wir die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner, den sog. Hauptnenner
, bringen. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche. Im Anschluss daran dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungsfaktoren zu berechnen. Diese verraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen.
zu 4)
Wie man gleichnamige Brüche addiert, haben wir im vorherigen Abschnitt gelernt.
zu 5)
Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).
Berechne $\frac{2}{4x}+\frac{3}{9y}$.
Brüche faktorisieren
$$ = \frac{2}{2 \cdot 2 \cdot x} + \frac{3}{3 \cdot 3 \cdot y} $$
Brüche kürzen
$$ = \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot x} + \frac{\cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 3 \cdot y} $$
$$ = \frac{1}{{\color{blue}2x}} + \frac{1}{{\color{blue}3y}} $$
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$x$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$y$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$x$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$y$}} = {\color{green}6xy} $$
Erweiterungsfaktoren berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}2x}} = \frac{}{{\color{green}6xy}} \qquad \Rightarrow {\color{green}6xy}:{\color{blue}2x} = {\color{red}3y} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3y}} = \frac{}{{\color{green}6xy}} \qquad \Rightarrow {\color{green}6xy}:{\color{blue}3y} = {\color{red}2x} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}2x}} = \frac{1}{{\color{blue}2x}} \cdot \frac{{\color{red}3y}}{{\color{red}3y}} =\frac{3y}{{\color{green}6xy}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3y}} = \frac{1}{{\color{blue}3y}} \cdot \frac{{\color{red}2x}}{{\color{red}2x}} = \frac{2x}{{\color{green}6xy}} $$
Brüche addieren
$$ \frac{3y}{{\color{green}6xy}} + \frac{2x}{{\color{green}6xy}} = \frac{3y + 2x}{{\color{green}6xy}} $$
Bruch kürzen
Bruch bereits vollständig gekürzt!
Berechne $\frac{1}{5a+5b}+\frac{1}{c}$.
Brüche faktorisieren
$$ = \frac{1}{{\color{blue}5(a+b)}} + \frac{1}{{\color{blue}c}} $$
Brüche kürzen
Brüche bereits vollständig gekürzt!
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$5$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a+b)$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$c$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$5$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a+b)$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$c$}}= {\color{green}5c(a+b)} $$
Erweiterungsfaktoren berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5(a+b)}} = \frac{}{{\color{green}5c(a+b)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}5c(a+b)}:{\color{blue}5(a+b)} = {\color{red}c} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}c}} = \frac{}{{\color{green}5c(a+b)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}5c(a+b)}:{\color{blue}c} = {\color{red}5(a+b)} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5(a+b)}} = \frac{1}{{\color{blue}5(a+b)}} \cdot \frac{{\color{red}c}}{{\color{red}c}} =\frac{c}{{\color{green}5c(a+b)}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}c}} = \frac{1}{{\color{blue}c}} \cdot \frac{{\color{red}5(a+b)}}{{\color{red}5(a+b)}} = \frac{5(a+b)}{{\color{green}5c(a+b)}} $$
Brüche addieren
$$ \frac{c}{{\color{green}5c(a+b)}} + \frac{5(a+b)}{{\color{green}5c(a+b)}} = \frac{c + 5(a+b)}{{\color{green}5c(a+b)}} $$
Bruch kürzen
Bruch bereits vollständig gekürzt!
Berechne $\frac{a+3}{a^2+6a+9}+\frac{1}{a-3}$.
Brüche faktorisieren
$$ = \frac{a+3}{(a+3) \cdot (a+3)} + \frac{1}{a-3} $$
Brüche kürzen
$$ = \frac{\cancel{a+3}}{\cancel{(a+3)} \cdot (a+3)} + \frac{1}{a-3} $$
$$ = \frac{1}{{\color{blue}a+3}} + \frac{1}{{\color{blue}a-3}} $$
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$a+3$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$a-3$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$(a+3)$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a-3)$}} = {\color{green}(a+3)(a-3)} $$
Erweiterungsfaktoren berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a+3}} = \frac{}{{\color{green}(a+3)(a-3)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}(a+3)(a-3)}:{\color{blue}(a+3)} = {\color{red}a-3} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a-3}} = \frac{}{{\color{green}(a+3)(a-3)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}(a+3)(a-3)}:{\color{blue}(a-3)} = {\color{red}a+3} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a+3}} = \frac{1}{{\color{blue}a+3}} \cdot \frac{{\color{red}a-3}}{{\color{red}a-3}} =\frac{a-3}{{\color{green}(a+3)(a-3)}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a-3}} = \frac{1}{{\color{blue}a-3}} \cdot \frac{{\color{red}a+3}}{{\color{red}a+3}} = \frac{a+3}{{\color{green}(a+3)(a-3)}} $$
Brüche addieren
$$ \frac{a-3}{{\color{green}(a+3)(a-3)}} + \frac{a+3}{{\color{green}(a+3)(a-3)}} = \frac{a-3 + a+3}{{\color{green}(a+3)(a-3)}} = \frac{2a}{{\color{green}(a+3)(a-3)}} $$
Bruch kürzen
Bruch bereits vollständig gekürzt!
