Allgemeine Zinsformel
In diesem Kapitel schauen wir uns die allgemeine Zinsformel etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
- Grundlagen der Zinsrechnung
Einordnung
Die allgemeine Zinsformel dient der Berechnung der Zinsen für Zeiträume bis zu einem Jahr. Für Zeiträume, die größer als ein Jahr sind, gibt es die Zinseszinsformel.
Formel
Allgemeine Zinsformel
$$ Z = \underbrace{K \cdot \frac{p}{100}}_{\text{Jahreszinsen}} \cdot \underbrace{\frac{t}{360}}_{\text{Zeitfaktor}} $$
Symbolverzeichnis
$Z$= Zinsbetrag$K$= Kapital$p$= Zinssatz (in Prozent)$t$= Verzinsungszeit (in Tagen)
Nach der deutschen (kaufmännischen) Zinsmethode
besteht ein Monat aus 30 und ein Jahr aus 360 Tagen. In anderen Ländern werden oft andere Zinsmethoden eingesetzt.
Sind drei der vier Größen ($Z$, $K$, $p\ \%$, $t$) bekannt, kann man die vierte berechnen.
Dazu stellt man die allgemeine Zinsformel nach der gesuchten Größe um.
Zinsbetrag berechnen
$$ Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} $$
Du nimmst bei deiner Bank einen Kredit über $5.000\ \textrm{€}$ auf.
Die Laufzeit beträgt $6$ Monate bei einem Zinssatz von $10\ \%$.
Berechne die Zinszahlungen, die in diesem Zeitraum anfallen.
Gegeben: $K = 5000$ €, $p\ \% = 10\ \%$ und $t = 180$ (= $6 \cdot 30$ Tage)
Gesucht: $Z$
Formel aufschreiben
$$ Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{Z} = 5000 \cdot \frac{10}{100} \cdot \frac{180}{360} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{Z} = 250 $$
Es fallen $250\ \textrm{€}$ Zinsen an.
Zinssatz berechnen
Wir müssen die Gleichung $Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}$ nach $p$ auflösen:
$$ \begin{align*} Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} &&{\color{gray}|\, : K} \\[5px] \frac{Z}{K} &= \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} &&{\color{gray}|\, :\frac{t}{360} \;\hat{=}\; \cdot \, \frac{360}{t}} \\[5px] \frac{Z}{K} \cdot \frac{360}{t} &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\, \cdot 100} \\[5px] \frac{Z}{K} \cdot \frac{360}{t} \cdot 100 &= p \end{align*} $$
$$ p = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot t} $$
Du hast für einen Zeitraum von $10$ Tagen $20.000\ \textrm{€}$ auf deinem Sparbuch angelegt.
Für diese Anlage erhältst du am Ende des Jahres eine Zinsgutschrift über $50\ \textrm{€}$.
Mit welchem Zinssatz wurde dein Sparbuch verzinst?
Gegeben: $t = 10$ Tage, $K = 20000$ € und $Z = 50$ €
Gesucht: $p\ \%$
Formel aufschreiben
$$ p = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot t} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{p} = \frac{50 \cdot 100 \cdot 360}{20000 \cdot 10} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{p} = 9 $$
Die Geldanlage wurde mit $9\ \%$ p.a. verzinst.
Laufzeit berechnen
Wir müssen die Gleichung $Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}$ nach $t$ auflösen:
$$ \begin{align*} Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|\, : K} \\[5px] \frac{Z}{K} &= \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|\, : \frac{p}{100} \;\hat{=}\; \cdot \, \frac{100}{p}} \\[5px] \frac{Z}{K} \cdot \frac{100}{p} &= \frac{t}{360} && {\color{gray}|\, \cdot 360} \\[5px] \frac{Z}{K} \cdot \frac{100}{p} \cdot 360 &= t \end{align*} $$
$$ t = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot p} $$
Für deinen Kredit über $10.000\ \textrm{€}$ musst du $200\ \textrm{€}$ Zinsen zahlen.
Der Zinssatz beträgt $15\ \%$. Berechne die Kreditlaufzeit.
Gegeben: $K = 10000$ €, $Z = 200$ € und $p\ \% = 15\ \%$
Gesucht: $t$
Formel aufschreiben
$$ t = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot p} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{t} = \frac{200 \cdot 100 \cdot 360}{10000 \cdot 15} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{t} = 48 $$
Die Kreditlaufzeit beträgt $48$ Tage.
Kapital berechnen
Wir müssen die Gleichung $Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}$ nach $K$ auflösen:
$$ \begin{align*} Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|\, : \frac{p}{100} \;\hat{=}\; \cdot \, \frac{100}{p}} \\[5px] Z \cdot \frac{100}{p} &= K \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|\, : \frac{t}{360} \;\hat{=}\; \cdot \, \frac{360}{t}} \\[5px] Z \cdot \frac{100}{p} \cdot \frac{360}{t} &= K \end{align*} $$
$$ K = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{p \cdot t} $$
Am Jahresende erhältst du auf deinem Sparbuch eine Zinsgutschrift über $500\ \textrm{€}$.
Es befand sich aber lediglich für einen Zeitraum von $3$ Monaten Geld auf dem Sparbuch.
Der Zinssatz betrug $5\ \%$. Welche Geldsumme befand sich auf dem Sparbuch?
Gegeben: $Z = 500$ €, $p\ \% = 5\ \%$ und $t = 90$ (= $3 \cdot 30$ Tage)
Gesucht: $K$
Formel aufschreiben
$$ K = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{p \cdot t} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{K} = \frac{500 \cdot 100 \cdot 360}{5 \cdot 90} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{K} = 40000 $$
Auf dem Sparbuch befanden sich $40.000\ \textrm{€}$.
