Abstand paralleler Geraden
In diesem Kapitel wollen wir den Abstand paralleler Geraden berechnen.
Mit Abstand
ist hier die kürzeste Strecke zwischen zwei Geraden gemeint.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Der Abstand zweier paralleler Geraden $g_1$ und $g_2$ ist der Abstand eines beliebigen Punktes $P \in g_2$ von der Gerade $g_1$. Alternativ kann man natürlich auch den Abstand eines beliebigen Punktes $P \in g_1$ von der Gerade $g_2$ berechnen.
Wenn du bereits weißt, wie man den Abstand eines Punktes von einer Gerade berechnet, dann bereitet dir dieses Thema keine Schwierigkeiten. Das Vorgehen ist nahezu identisch. Zu Beginn ist lediglich ein Punkt einer Gerade zu bestimmen. Am einfachsten ist es, wenn man den Aufpunkt der Gerade wählt, denn dieser lässt sich einfach ablesen und muss nicht extra berechnet werden.
Anleitung
Ebene in Normalenform aufstellen
Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Eine der Geradengleichungen in umgeformte Ebenengleichung einsetzen
Parameter berechnen
Parameter in Geradengleichung einsetzen, um Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ zu berechnen
Verbindungsvektor des gegebenen Punkts $\boldsymbol{P}$ mit dem Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ berechnen
Länge des Verbindungsvektors berechnen
Beispiel
Berechne den Abstand $d$ der parallelen Geraden
$$ g_1\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ g_2\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Ebene in Normalenform aufstellen
Eine Ebene $E$ ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt, den sog. Aufpunkt $\vec{a}$, und einen Normalenvektor $\vec{n}$, der senkrecht auf der Ebene steht.
Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:
$$ E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$
Wir wählen in diesem Fall
- Normalenvektor
$\vec{n}$= Richtungsvektor der Gerade$g_1$ - Aufpunkt
$\vec{a}$= Aufpunkt der Gerade$g_2$
$$ E\colon\; \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0 $$
Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Durch Ausmultiplizieren gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.
$$ \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
$$ -4x_1 + x_2 + x_3 + (-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6)) = 0 $$
$$ -4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0 $$
Eine der Geradengleichungen in umgeformte Ebenengleichung einsetzen
Wir entscheiden uns dafür, die Gerade $g_1$ einzusetzen:
$$ -4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0 $$
Parameter berechnen
$$ -8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0 $$
$$ -18 + 18\lambda = 0 $$
$$ 18\lambda = 18 $$
$$ \lambda = 1 $$
Parameter in Geradengleichung einsetzen, um Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ zu berechnen
Wir setzen $\lambda = 1$ in die Geradengleichung ein
$$ g_1\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
um den Schnittpunkt $S$ der Ebene $E$ mit der Gerade $g$ zu berechnen:
$$ \begin{align*} \vec{s} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\[5px] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*} $$
Verbindungsvektor des gegebenen Punkts $\boldsymbol{P}$ mit dem Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ berechnen
$$ \overrightarrow{PS} = \vec{s} - \vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} $$
Länge des Verbindungsvektors berechnen
$$ |\overrightarrow{PS}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6 $$
Der Abstand der parallelen Geraden beträgt 6 Längeneinheiten.
