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Ableitung Sinus

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Ableitung vom Sinus ist.

Erforderliches Vorwissen

Formel 

SinusAbleitung Sinus
$f(x) = \sin(x)$$f'(x) = \cos(x)$

Sich die Ableitung vom Sinus zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein $x$ als Argument in der Sinusfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne die Ableitung der Sinusfunktion $f(x) = \sin(2x)$.

Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten

Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = f(x) = \sin(2x)$ ist

FunktionAbleitung
$g(x) = \sin(x)$$$g'(x) = \cos(x)$$
$h(x) = 2x$$$h'(x) = 2$$

Verkettete Funktion ableiten

Formel aufschreiben

$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{f'(x)} = \cos(2x) \cdot 2 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{f'(x)} = 2\cos(2x) $$

Beispiel 2 

Berechne die Ableitung der Sinusfunktion $f(x) = \sin(x^2 + x)$.

Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten

Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \sin(x^2 + x)$ ist

FunktionAbleitung
$g(x) = \sin(x)$$$g'(x) = \cos(x)$$
$h(x) = x^2 + x$$$h'(x) = 2x + 1$$

Verkettete Funktion ableiten

Formel aufschreiben

$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{f'(x)} = \cos(x^2 + x) \cdot (2x + 1) $$

Ergebnis berechnen

Der obige Funktionsterm kann nicht weiter vereinfacht werden.

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