Ableitung Logarithmus
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Ableitung vom Logarithmus berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Ableitungsfunktion?
- Ableitungsregeln
Formel
| Logarithmus | Ableitung Logarithmus |
|---|---|
$f(x) = \ln(x)$ | $f'(x) = \frac{1}{x}$ |
Sich die Ableitung vom Logarithmus zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein $x$ als Argument in der Logarithmusfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.
Beispiele
Berechne die Ableitung der Logarithmusfunktion $f(x) = \ln(2x)$.
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \ln(2x)$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = \ln(x)$ | $$g'(x) = \frac{1}{x}$$ |
$h(x) = 2x$ | $$h'(x) = 2$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{2x} \cdot 2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{x} $$
Berechne die Ableitung der Logarithmusfunktion $f(x) = \ln(x^2 + x)$.
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \ln(x^2 + x)$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = \ln(x)$ | $$g'(x) = \frac{1}{x}$$ |
$h(x) = x^2 + x$ | $$h'(x) = 2x + 1$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{x^2 + x} \cdot \left(2x + 1\right) $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{2x +1}{x^2 + x} $$
Lernvideos
Im Folgenden findest du vier Lernvideos, in denen das Ableiten von Logarithmen ausführlich erklärt wird. Dabei wird auf alle Ableitungsregeln anhand verständlicher Beispiele eingegangen.
Faktorregel & Kettenregel
In folgendem Lernvideo (5:19 min) wird dir die Anwendung der Faktorregel sowie der Kettenregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.
Mehr zur Potenzregel und zur Kettenregel…
Summenregel & Differenzregel
In folgendem Lernvideo (2:18 min) wird dir die Anwendung der Summenregel sowie der Differenzregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.
Mehr zur Summenregel und zur Differenzregel…
Produktregel
In folgendem Lernvideo (2:35 min) wird dir die Anwendung der Produktregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.
Mehr zur Produktregel…
Quotientenregel
In folgendem Lernvideo (2:52 min) wird dir die Anwendung der Quotientenregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.
Mehr zur Quotientenregel…
